Le 8 septembre 2026, OpenAI a annoncé qu'un de ses modèles d'intelligence artificielle avait produit une preuve concernant les équations de Navier-Stokes, l'un des sept problèmes du prix du millénaire. Selon l'entreprise, environ 10 000 agents ont travaillé en parallèle pendant 88 heures pour établir que ces équations peuvent développer une singularité en temps fini, à condition d'y ajouter une force extérieure spécifique. L'annonce a aussi déclenché une controverse, puisque deux mathématiciens, Tristan Buckmaster (New York University) et Levent Alpöge (Anthropic), ont accusé l'entreprise de s'être appuyée sur leurs travaux personnels non publiés ; une accusation qu'OpenAI conteste. À l'heure où ces lignes sont écrites, la preuve n'a pas encore fait l'objet d'une validation indépendante par la communauté mathématique.
Les problèmes du prix du millénaire sont sept (07) questions mathématiques non résolues, sélectionnées en 2000 par l'institut de mathématiques Clay, qui offre un million de dollars pour la solution complète de chacune d'entre elles. Vingt-cinq ans plus tard, un seul de ces sept problèmes a été résolu : la conjecture de Poincaré, démontrée par le mathématicien russe Grigori Perelman.
Ces problèmes ne sont pas de simples énigmes de concours. Ils touchent aux fondations mêmes des mathématiques modernes : la répartition des nombres premiers, la nature du hasard en informatique, le comportement des fluides turbulents ou encore les briques élémentaires de la matière. Comprendre ne serait-ce que leur énoncé demande déjà un petit effort.
Qu'est-ce que le prix du millénaire ?
Le prix du millénaire est une récompense d'un million de dollars offerte par l'institut de mathématiques Clay (Clay Mathematics Institute, ou CMI), basé dans le Massachusetts, pour la résolution de l'un des sept problèmes désignés en 2000. L'institut a été fondé en 1998 par l'homme d'affaires Landon T. Clay et son épouse Lavinia, dans le but de promouvoir et de soutenir la recherche mathématique.
Le 24 mai 2000, au Collège de France à Paris, le CMI dévoile sa liste de sept problèmes lors d'un événement qui marque le centenaire d'un moment fondateur de l'histoire des mathématiques. En 1900, au même endroit, le mathématicien allemand David Hilbert avait présenté ses vingt-trois problèmes lors du Congrès international des mathématiciens. Cette liste avait orienté une bonne partie de la recherche mathématique du vingtième siècle. Le CMI a voulu reproduire ce geste pour le siècle suivant.
Les sept problèmes ont été présentés en détail par des mathématiciens de renom, parmi lesquels Andrew Wiles qui a démontré le grand théorème de Fermat quelques années plus tôt. L'objectif étant de rappeler au grand public que les mathématiques restent une science vivante, avec des frontières encore largement ouvertes, à une époque où l'on pouvait croire que les ordinateurs allaient rendre les mathématiciens superflus.
La conjecture de Poincaré, le seul problème résolu
La conjecture de Poincaré affirme que toute forme géométrique à 3 dimensions qui possède certaines propriétés topologiques simples (l'absence de trou, en résumé) est en réalité équivalente à une sphère à 3 dimensions. Formulée en 1904 par le mathématicien français Henri Poincaré, elle porte sur la topologie, la branche des mathématiques qui étudie les formes en faisant abstraction de leur taille ou de leur courbure exacte.
Pour se représenter l'idée, on compare généralement une forme sans trou (comme une sphère) à une forme percée (comme un beignet ou une bouée). Sur une surface à 2 dimensions, il est facile de vérifier qu'une forme sans trou peut être déformée continûment en sphère. Poincaré s'est demandé si ce résultat restait vrai en 3 dimensions ; ce qui est beaucoup plus difficile à visualiser et à démontrer.
Le mathématicien russe Grigori Perelman a résolu ce problème entre 2002 et 2003, dans une série d'articles mis en ligne sans passer par une revue scientifique classique. Sa démonstration s'appuie sur une technique appelée le flot de Ricci, développée initialement par le mathématicien américain Richard Hamilton. La communauté mathématique a mis plusieurs années à vérifier intégralement la preuve avant de la valider.
En 2010, le CMI a attribué à Perelman le prix d'un million de dollars. Il a refusé de le recevoir, comme il avait déjà refusé la médaille Fields en 2006, la plus haute distinction en mathématiques. Il a justifié ce refus notamment par le fait que le prix n'était pas également proposé à Richard Hamilton, dont les travaux avaient rendu sa propre démonstration possible.
L'hypothèse de Riemann
L'hypothèse de Riemann porte sur la répartition des nombres premiers ; ces nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Formulée par le mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1859, elle prédit que tous les zéros dits « non triviaux » d'une fonction mathématique appelée fonction zêta de Riemann se trouvent alignés sur une même droite, dans le plan des nombres complexes.
D'après cet énoncé technique, les nombres premiers semblent répartis de façon irrégulière, presque imprévisible, parmi les entiers. Riemann a montré qu'il existe pourtant un lien étroit entre cette répartition et le comportement de sa fonction zêta. Si l'hypothèse est vraie, elle donnerait la description la plus précise possible de la façon dont les nombres premiers se distribuent, avec des conséquences directes en théorie des nombres et en cryptographie.
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Des centaines de résultats mathématiques ont déjà été démontrés en supposant que l'hypothèse de Riemann est vraie. Les vérifications informatiques ont confirmé l'alignement de plusieurs milliards de zéros sur la fameuse droite, sans qu'aucun contre-exemple n'ait jamais été trouvé. Mais une vérification, même portant sur des milliards de cas, ne constitue pas une démonstration mathématique valable pour tous les cas possibles.
P contre NP, une question fondamentale en informatique théorique
Le problème P contre NP demande si tout problème dont on peut vérifier rapidement une solution proposée peut aussi être résolu rapidement depuis le début. Formulé de façon rigoureuse en 1971 par l'informaticien Stephen Cook, il oppose deux catégories de problèmes en informatique théorique.
La catégorie P regroupe les problèmes qu'un ordinateur peut résoudre en un temps raisonnable, qui augmente de façon modérée avec la taille des données. La catégorie NP regroupe les problèmes dont on peut vérifier rapidement une solution, une fois qu'elle est proposée, même si on ignore comment la trouver efficacement. Un exemple classique est celui d'un plan de tournée optimal entre plusieurs villes : difficile à calculer, mais facile à vérifier une fois qu'il est donné.
La quasi-totalité des chercheurs pensent que P est différent de NP ; c'est-à-dire qu'il existe des problèmes faciles à vérifier, mais impossibles à résoudre rapidement. Personne n'a toutefois réussi à le démontrer. L'enjeu dépasse largement la théorie. Si un jour on découvrait que P égale NP, cela bouleverserait la sécurité informatique, puisque de nombreux systèmes de chiffrement reposent justement sur la difficulté supposée de certains calculs.
La conjecture de Hodge
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La conjecture de Hodge, formulée par le mathématicien écossais William Hodge dans les années 1950, porte sur le lien entre la géométrie et l'algèbre dans l'étude de certains espaces à plusieurs dimensions appelés variétés algébriques projectives. Elle prédit que certaines formes géométriques compliquées, appelées classes de cohomologie, peuvent toujours être décrites comme des combinaisons de formes plus simples, issues d'équations polynomiales.
Ce problème est sans doute le plus abstrait des sept, car il exige des notions avancées de géométrie algébrique et de topologie pour être simplement énoncé avec précision. Pour faire simple, il s'agit de savoir si l'on peut toujours « lire » la forme d'un espace géométrique complexe à travers des objets algébriques plus maniables, sortes de briques de construction issues d'équations.
La conjecture a été vérifiée dans plusieurs cas particuliers importants, notamment pour certaines dimensions restreintes, mais elle reste ouverte dans le cas général. Sa résolution éclairerait des pans entiers de la géométrie algébrique moderne, un domaine qui relie l'algèbre, la géométrie et, plus récemment, certaines branches de la physique théorique.
Les équations de Yang-Mills et le problème du « mass gap »
Le problème de Yang-Mills, posé par les physiciens Chen Ning Yang et Robert Mills en 1954, demande de démontrer mathématiquement l'existence d'une théorie quantique cohérente pour certaines forces fondamentales ainsi que l'existence d'un « mass gap » ; c'est-à-dire un écart minimal d'énergie entre l'état de plus basse énergie et les états suivants.
La théorie de Yang-Mills sert de base mathématique au modèle standard de la physique des particules, celui qui décrit les interactions fortes et faibles entre particules élémentaires. Les physiciens l'utilisent avec succès depuis des décennies et ses prédictions sont confirmées par les expériences. Le problème mathématique posé par le CMI ne conteste pas cette efficacité pratique, mais pointe une lacune théorique. En effet, personne n'a encore prouvé, avec toute la rigueur exigée par les mathématiques, que cette théorie repose sur des fondations parfaitement cohérentes.
Ce problème illustre un cas particulier où la physique va plus vite que la démonstration mathématique. Les calculs fonctionnent, les expériences confirment les prédictions, mais la preuve formelle de la cohérence de la théorie manque encore. Combler cet écart rapprocherait durablement la physique théorique et les mathématiques pures.
Navier-Stokes : existence et régularité des solutions
Le problème de Navier-Stokes porte sur les équations qui décrivent le mouvement des fluides visqueux, comme l'eau ou l'air. Il demande de prouver que ces équations, formulées au dix-neuvième siècle par Claude-Louis Navier et George Gabriel Stokes, admettent toujours des solutions bien définies et sans comportement chaotique incontrôlé, quelle que soit la situation de départ, en trois dimensions.
Ces équations sont utilisées quotidiennement en météorologie, en aéronautique et en océanographie pour simuler des écoulements. Le problème ne remet pas en cause leur utilité pratique, largement démontrée, mais leur solidité théorique. Les mathématiciens ignorent encore si une solution existe toujours, si elle reste unique et, surtout, si elle demeure « lisse » ; c'est-à-dire sans apparition soudaine de valeurs infinies qui traduiraient un comportement physiquement absurde.
La difficulté vient de la turbulence. Il s'agit d'un phénomène tourbillonnaire et imprévisible que l'on observe par exemple dans une rivière agitée ou dans les remous derrière un avion. Les équations décrivent bien ce phénomène en pratique, mais leur comportement mathématique extrême, en cas de turbulence intense, reste largement incompris.
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, formulée dans les années 1960 par les mathématiciens britanniques Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer, porte sur les courbes elliptiques, des équations d'un type particulier qui sont d'une grande importance en théorie des nombres. Elle établit un lien entre le nombre de solutions rationnelles de ces équations et le comportement d'une fonction associée, appelée fonction L.
Les courbes elliptiques ont une importance qui dépasse la théorie pure. En effet, elles sont beaucoup utilisées en cryptographie moderne, dans les systèmes de sécurité qui protègent les communications numériques. Savoir prédire, sans avoir à les calculer une par une, si une courbe elliptique possède un nombre fini ou infini de solutions rationnelles serait une avancée majeure.
Les mathématiciens Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer ont formulé leur conjecture après avoir observé, grâce à des calculs informatiques réalisés dès les années 1960, une régularité frappante entre ces deux quantités a priori sans lien évident. Plusieurs cas particuliers de la conjecture ont depuis été démontrés, mais l'énoncé général reste ouvert.
Références
- Clay Mathematics Institute, page officielle des Millennium Prize Problems, claymath.org/millennium-prize-problems
- Carlson J., Jaffe A., Wiles A. (dir.), The Millennium Prize Problems, American Mathematical Society, 2006
- Wikipédia, article « Millennium Prize Problems »
- Institut de recherche pour le développement (IRD), traduction française « Les sept problèmes mathématiques du prix du millénaire », par Nicolas Bacaër
